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Ecuaciones Lineales 3x3

Las Ecuaciones Lineales 3x3 son aquellas que están conformadas por Tres Ecuaciones, cada una con Tres Incógnitas. Por Ejemplo:

                           

          3x+ 2y + z = 1                       2x+3y-5z=12

         5x + 3y + 4z = 2                     4x+8y+z=16                                    x + y - z = 1                          x+y+z=5 

 

Las Ecuaciones Lineales  3x3 se pueden resolver mediante los mismos métdos de solución de las Ecuaciones Lienales 2x2, es decir, se pueden resolver tambén por los siguientes métodos:

- Por Igualación.

- Por Sustitución.

- Por Reducción.

 

         

Por Igualación:

Tenemos la siguiente ecuación lineal 3x3:

                     2x - y - 4z = 12 ----------- 1

                    3x - 4y + 2z = -11 ---------  2

                    -5x + 2y - z = 2 ----------- 3

- Lo primero que debemos hacer es despejar una de las tres variables en las tres ecuaciones, en este caso despejamos la variable X:

1) 2x - y - 4z = 12          2) 3x - 4y + 2z = -11              3) -5x + 2y - z = 2

   2x = 12 - y + 4z          3x = -11 + 4y - 2z                  -5x = 2 - 2y + z

     X = 12 - y + 4z         X = -11 + 4y - 2z                      X = 2 - 2y + z

           _________         __________                           ________

                   2                           3                                              -5

      Ecuación 4               Ecuación 5                         Ecuación 6

 

- Después, debemos igualar dos parejas de ecuaciones de las que ya están despejadas y vamos a hallar dos ecuaciones más, las cuales serán Ecuación 7 y Ecuación 8, entonces:

Ecuación 4 = Ecuación 5:

                                12 - y + 4z       -11 + 4y - 2z

                               -----------  =   --------------

                                        2                          3

 

                  3(12 + y + 4z) = 2(-11 + 4y - 2z)

                   36 + 3y + 12z = -22 + 8y - 4z

                    3y + 12z - 8y + 4z = -22 - 36

                     -5y + 16z = -58 ---------------- Ecuación 7

 

Ecuación 4 = Ecuación 6:

                               12 + y + 4z          2 - 2y + z

                              -------------  =   ------------

                                        2                        -5

 

                -5(12 + y + 4z) = 2(2 - 2y + z)

                -60 - 5y - 20z = 4 - 4y + 2z

                -5y - 20z + 4y - 2z = 4 + 60

                       -y - 22z = 64 ---------------- Ecuación 8

 

- Luego, vamos a resolver las dos ecuacioes que hallamos (7 y 8), ya que es un sistema de Ecuación Lineal 2x2 podemos utilizar cualquier método, en este caso lo resolveremos por igualación:

1) -5y + 16z = -58

2) -y - 22z = 64

 

                  -5y + 16z = -58                 -y - 22z = 64

                   Y = -58 - 16z                      Y = 64 + 22z

                         -----------                          -----------

                                 -5                                        -1

 

                                 -58 - 16z         64 + 22z

                                 ----------  =    ----------

                                        -5                    -1

-1(-58 - 16z) = -5(64 + 22z)                       -y -22z = 64

    58 + 16z = -320 - 110z                         -y -22(-3) = 64

    16z + 110z = -320 - 58                            -y + 66 = 64

                126z = -378                                   -y = 64 - 66

             Z = -378 / 126                                    -y = -2

                       Z = -3                                      Y = -2 / -1

                                                                           Y = 2

- Ahora, como ya encontramos a Y y a Z nos falta encontrar a X, para esto vamos a reemplazar las dos variables halladas en una de las ecuaciones iniciales para despejar y hallar X:

  3x - 4y + 2z = -11                                

3x - 4(2) + 2(-3) = -11                                        Resultado:                          

    3x - 8 - 6 = -11                                                     X = 1

    3x = -11 + 8 + 6                                                    Y = 2   

         X = 3 / 3                                                         Z = -3

             X = 1

 

 

Por Sustitución:

Tenemos la siguiente Ecuación Lineal 3x3:

         2x - y + z = -3 -------------- Ecuación 1

         3x + 2y - z = 1 -------------- Ecuación 2

         x - 3y + 2z = -6 ------------- Ecuación 3

 

- Lo primero que debemos hacer es despejar una de las tres variables en cualquiera de las tres ecuaciones, en este caso despejaremos la variable Z:

                               2x - y + z = -3 

                              Z = -3 -2x + y ----------- Ecuación 4

- En seguida, reemplazaremos  la Z en las dos ecuaciones restantes, de esta manera:

                               3x + 2y - z = 1 

                          3x + 2y -(-3 - 2x + y) = 1

                           3x + 2y + 3 + 2x - y = 1

                                   5x  + y = 1 - 3

                                  5x + y = -2 ------------- Ecuación 5

 

                               x - 3y + 2z = -6

                          x - 3y + 2(-3 -2x +y) =- 6

                            x - 3y - 6 - 4x + 2y = -6

                                    -3x - y = -6 +6

                                   -3x - y = 0 ------------- Ecuación 6

- Ahora, como las dos ecuaciones resultantes (5 y 6)  son ecuaciones lineales 2x2, podemos resolverlas utilizando el método de sustitución de las ecuaciones lineales 2x2:

                                    5x + y = -2

                                     Y = -2 - 5x

   

             -3x - y = 0                  5x + y = -2             

         -3x -(-2 - 5x) = 0           5(-1) + y = -2

          -3x + 2 + 5x = 0              -5 + y = -2

              2x = 0 - 2                     Y = -2 + 5

                2x = -2                             Y = 3

             X = -2 / 2

                 X = -1

- Por último, como ya hallamos a X y Y, entonces vamos a reemplazar las dos variables halladas es cualquiera de las tres ecuaciones iniciales para hallar a Z:

 

   2x - y + z = -3

 2(-1) -(3) + z = -3                         Resultado:

   -2 - 3 + z = -3                                 X = -1

    Z = -3 + 2 + 3                                 Y = 3

           Z = 2                                       Z = 2

 

Por Reducción:

Tenemos la siguiente Ecuación Lineal 3x3:

           2x - 2y + z = 6 ----------- Ecuación 1

           x + y - 2z = -4 ------------ Ecuación 2

             3z - y + z = 6 ------------ Ecuación 3

- Lo primero que debemos hacer es seleccionar dos ecuaciones las multiplicamos por los coeficientes de las X para reducir una de las tres incógnitas, de esta manera:

Ecuación 1 y Ecuación 2:

                 

                  1(2x - 2y + z = 6)  =  2x - 2y + z = 6

              - 2(x + y - 2z = -4)  =   -2x - 2y + 4z = 8     

 

                                 2x - 2y + z = 6

                               -2x - 2y + 4z = 8       

                              ---------------------

                                   / - 4y + 5z = 14 ---------- Ecuación 4

 

Ecuación 1 y Ecuación 3:

 

                  3(2x - 2y + z = 6) = 6x - 6y + 3z = 18

                -2( 3x - y + z = 6)  = -6x + 2y - 2z = -12

 

                                6x - 6y + 3z = 18

                              -6x + 2y - 2z = -12

                             ----------------------

                                 /     -4y + z   = 6 ----------- Ecuación 5

 

- Ahora, como las dos ecuaciones resultantes son dos ecuaciones lineales 2x2, podemos resolverlas aplicando cualquier método, en este caso, lo resolveremos por Reducción:

                      -1(-4y + 5z = 14)  =  4y - 5z = -14

                         (-4y + z = 6)      = -4y + z = 6

 

             4y - 5z = -14                  -4z = -8               -4y + 5z = 14

            -4y +  z  =  6                  Z = -8 / -4            -4y + 5(2) = 14

           ----------------                    Z = 2                  -4y + 10 = 14

                /   -4z = -8                                                 Y = 14 - 10 / -4

                                                                                        Y = 4 / -4

                                                                                           Y = -1

 

- Por último, como ya hallamos a Y y a Z, las vamos a reemplazar en cualquiera de las ecuaciones iniciales para hallar a X:

 

  2x - 2y + z = 6                             Resultado:

 2x - 2(-1) + 2 = 6                                 X = 1

   2x + 2 + 2 = 6                                    Y = -1

    2x = 6 -2 -2                                       Z = 2

         2x = 2

      X = 2 / 2

          X = 1

Sirve para resolver ecuaciones lineales. A continución se explicará como se resuelve una ecuación lineal 3x3 por el método de Gauss Jordan.

                        3x + 5y - z = -2

                        2x - 3y + 2z = 7

                        -x + 2y + z = 3

 

Método de Gauss Jordan:

                              X = 1/3

                             Y = 1/21

                             Z = 68/21

 

Verificación:

3x + 5y -z = -2

3(1/3) + 5(1/21) - 68/21 = -2

1 + 5/21 - 68/21 = -2

-2 = -2

 

2x - 3y + 2z = 7

2(1/3) - 3(1/21) + 2(68/21) = 7

2/3 - 1/7 + 136/21 = 7

7= 7

 

-x + 2y + z = 3

-1/3 + 2(1/21) + 68/21 = 3

-1/3 + 2/21 + 68/21 = 3

3 = 3

 

Regla de Cramer:

Utilizaremos la siguiente ecuación lineal 3x3 para explicar la regla de Cramer.

x - 3y + 2z = -3

5x + 6y- z = 13

4x - y + 3z = 8

 

- Debemos meter en una matriz los coeficientes de las variables X, Y y Z, y repetimos las dos primeras filas que quedan en la matriz; por último multiplicamos las diagonal hacia la derecha y le restamos la multiplicación de la diagonal hacia la izquierda, como se muestra a continuación:

 

= (18 - 10 + 12) - (48 + 1 - 45)

= 20 - 4

= 16

 

 

 

= (-54 - 26 + 24) - ( 96 - 3 - 117)

= -56 -(-24)

= -56 + 24

= -32

 

 

 

= ( 39 + 80 + 12) - (104 - 8 - 45)

= 131 - 51

= 80

 

 

 

= ( 48 + 15 - 156) - (-72 - 13 - 120)

= -93 -(-205

= -93 + 205

= 112

Finalmente para hallar las variables, dividimos el Determminante del Sistema (∆s) en el Determinante de X (∆x), y hacemos el mismo procedimiento con Y y con Z.

 

X = -32 / 16       Y = 80 / 16       Z = 112 / 16

   X = -2                Y = 5               Z = 7

 

Verificación:

x - 3y + 2z = -3

-2 - 3(5) + 2(7) = -3

-2 - 15 + 14 = -3

-3 = -3

 

5x + 6y- z = 13

5(-2) + 6(5) - 7 = 13

-10 + 30 - 7 = 13

13 = 13

 

4x - y + 3z = 8

4(-2) - 5 + 3(7) = 8

-8 - 5 + 21 = 8

8 = 8

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