Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ecuaciones Lineales 2x2
Las Ecuaciones Lineales 2x2 son aquellas que están conformadas por Dos Ecuaciones, cada una con Dos Incógnitas. Por Ejemplo:
2x + 3y = 1 3x + 4y = 4 2x + y = 6
3x - y = -1 6x − 2y = 2 4x + 2y = 1
Las Ecuaciones Lieales 2x2 tienen varios métodos de solución, los cuales son:
- Igualación
- Reducción
- Sustitución
- Regla de Cramer
Igualación:
Para explicar este método de solución, tenemos la siguiente ecuación lineales 2x2:
1) 3x + y = 11
2 )5x – y = 13
- Lo primero que deemos hacer es despejar una de las incógnitas, es este caso despejamos la Y, lo que nos da como resultado las ecuaciones 3 y 4:
3) y = 11 – 3x
4) y= 5x – 13
- Ahora resolvemos las ecuaciones 3 = 4:
11 – 3x = 5x – 13
3x – 5x = -13 -11
8x = -24
X = 24 / 8
X = 3
- Por último, Reemplazamos X en cualquiera de las dos primeras ecuaciones (1 y 2) , en este caso reemplazamos en la ecuación 1:
1) y = 11 – 3x
Y = 11 – 3(3)
Y= 11 – 9
Y = 2
Respuesta:
X = 3
Y = 2
Reducción:
Utilizaremos la misma ecuación lineal 2x2 para explicar el método de reducción:
1)3x + y = 11
2)5x – y = 13
- Lo primero que debemos hacer es sumar las dos ecuaciones lineales, para eliminar una de las incógnitas:
3x + y = 11
5x – y = 13
___________
8x – 0 = 24
- Con este resultado, despejamos y hallamos X:
8x – 0 = 24
x = 24 / 8
X = 3
Ahora debemos eliminar a X, para eso debemos multiplicar la ecuación 1 por 5 y la ecuación 2 por -3:
5(3x + y = 11) = 15x + 5y = 55
-3(5x – y = 13) = -15x + 3y = -39
- Luego sumamos los resultados de las multiplicaciones, para eliminar una de las incógnitas:
15x + 5y = 55
-15x + 3y = -39
______________ / + 8y = 16
- Por último, con este resultado despejamos y hallamos Y:
8y = 16
Y = 16 / 8
Y = 2
Resultado:
X = 3
Y = 2
Sustitución
Para explicar este método de solición también utilizaremos la misma ecuación lineal:
1) )3x + y = 11
2)5x – y = 13
- Lo primero que hacemos es escoger una de las dos ecuaciones para despejarla y dejarla en función de la otra incógnita, en este caso escogemosla ecuación 1:
1)3x + y = 11
Y = 11 – 3x
- Luego con este resultado, reemplazamos Y en la ecuación 2:
2)5x – y = 13
5x – 11 + 3x = 13
- Después, con este resultado despejamos y hallamos X:
5x – 11 + 3x = 13
5x + 3x = 13 + 11
8x = 24
X = 24 / 8
X = 3
- Por último reemplazamos X en cualquiera de las dos primeras ecuaciones hallamos Y, en este caso reemplazamos en la ecuación 1:
3x + y = 11
3(3) + y = 11
9 + y = 11
Y = 11 – 9
Resultado: Y = 2
X = 3
Y = 2
Como podemos ver, no importa por cual método resolvamos la ecuación lineal 2x2, siempre dará el mismo resultado.
Ejercicios:
1- Resolver la siguiente ecuación lineal 2x2 por el método de reducción:
1) 3x - 4y = -6
2) 2x + 4y = 16
3x - 4y = -6
2x + 4y = 16
___________
5x / = 10
5x = 10
x = 10 / 5
x = 2
2(3x - 4y = -6) = 6x - 8y = -12
-3(2x + 4y = 16) = -6x - 12y = -48
6x - 8y = -12
-6x -12y = -48
_____________
/ -20y = -60
-20y =-60
Y = 60 / 20
Y = 3
Resultado:
X = 2
Y = 3
2- Resolver la siguiente ecuación lineal 2x2 por el método de susttución:
1) 2x + y = 7
2) x + 3y = 11
2) 2x + y = 7
y = 7 - 2x
x + 3y = 11 2x + y = 7 Resultados:
x + 3(7 - 2x) = 11 2(2) + y = 7 X = 2
x + 21 -6x = 11 - 21 4 + y = 7 Y = 3
-5x = -11 y = 7 - 4
x = 10 / 5 Y = 3
x = 2
3-Resolver la siguente ecuación lineal 2x2 por el método de Igualación:
1)3x - 2y = 8
2)x + y = 6
1)3x - 2y = 8 2)x + y = 6
x = 8 - 2y x = 6 - y
______
3
8 - 2y = 6 - y ==== 8 + 2y = 3(6 - y)
_____ = 8 + 2y = 18 - 3y
3
8 + 2y = 18 - 3y 3x - 2y = 8
2y + 3y = 18 - 8 3x - 2(2) = 8
5y = 10 3x - 4 = 8 Y = 10 / 5 x = 8 + 4
Y = 2 _____
3
x = 12 / 3
x = 4
Resultado:
X = 4
Y = 2
4- Resolver la siguiente ecuación lineal 2x2 por el método de Reducción:
1) y + 2x = 8
2) 4y + 3x = 17
y + 2x = 8
4y + 3x = 17
___________
5y + 5x = 25
4(y + 2x = 8) = 4y + 8x = 32
-1(4y + 3x = 17) = -4y - 3x = -17
4y + 8x = 32
-4y - 3x = -17
____________
/ 5x = 15
5x = 15 y + 2x = 8
X = 15 / 5 y + 2(3) = 8
X = 3 y + 6 = 8
Y = 8 - 6
Y = 2
Resultado:
X = 3
Y = 2
Regla de Cramer:
1) 3x + y = 11
2) 5x - y = 13
- Lo primero que debemos hacer es hallar el Determinante del Sistema (∆s), y para esto debemos encerrar en una Matriz los coeficientes de las variables X y Y, y luego multiplicamos las diagonales, de esta manera:
∆s = 3 1 = (3)(-1) - (1)(5) ∆s = -8
5 -1 = -3 - 5
= -8
- Después de hallar el Determinante del Sistema, hallaremos las Determinantes de las Variables X y Y de la misma manera:
∆x = 11 1 = (11)(-1) - (1)(13) ∆x = -24
13 -1 = -11 - 13
= -24
∆y = 3 11 = (3)(13) - (11)(5) ∆y = -16
5 13 = 39 - 55
= -16
- Por último, para hallar X dividiremos el resultado del Determinante del Sistema entre el resultado del Determinante de la X e igualmente para hallar Y, dividiremos el Determinante del Sistema entre el Determinante de la Y, de la siguiente forma:
X = ∆s / ∆x Y = ∆s / ∆y
X = -24 / -8 Y = -16 / -8
X = 3 Y = 2
Resultado:
X = 3
Y = 2
Método de Gauss Jordan:
Utililizaremos la siguiente ecuación lineal 2x2:
4x - 1 = 1
2x - 3y = 2
X = 1/10
Y = -3/5
Verificación:
4x - 1 = 1
4(1/10) -(-3/5) = 1
2/5 + 3/5 = 1
1 = 1
2x - 3y = 2
2(1/10) - 3(-3/5) = 2
1/5 + 9/5 = 2
2 = 2
