Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ecuaciones Lineales 3x3
Las Ecuaciones Lineales 3x3 son aquellas que están conformadas por Tres Ecuaciones, cada una con Tres Incógnitas. Por Ejemplo:
3x+ 2y + z = 1 2x+3y-5z=12
5x + 3y + 4z = 2 4x+8y+z=16 x + y - z = 1 x+y+z=5
Las Ecuaciones Lineales 3x3 se pueden resolver mediante los mismos métdos de solución de las Ecuaciones Lienales 2x2, es decir, se pueden resolver tambén por los siguientes métodos:
- Por Igualación.
- Por Sustitución.
- Por Reducción.
Por Igualación:
Tenemos la siguiente ecuación lineal 3x3:
2x - y - 4z = 12 ----------- 1
3x - 4y + 2z = -11 --------- 2
-5x + 2y - z = 2 ----------- 3
- Lo primero que debemos hacer es despejar una de las tres variables en las tres ecuaciones, en este caso despejamos la variable X:
1) 2x - y - 4z = 12 2) 3x - 4y + 2z = -11 3) -5x + 2y - z = 2
2x = 12 - y + 4z 3x = -11 + 4y - 2z -5x = 2 - 2y + z
X = 12 - y + 4z X = -11 + 4y - 2z X = 2 - 2y + z
_________ __________ ________
2 3 -5
Ecuación 4 Ecuación 5 Ecuación 6
- Después, debemos igualar dos parejas de ecuaciones de las que ya están despejadas y vamos a hallar dos ecuaciones más, las cuales serán Ecuación 7 y Ecuación 8, entonces:
Ecuación 4 = Ecuación 5:
12 - y + 4z -11 + 4y - 2z
----------- = --------------
2 3
3(12 + y + 4z) = 2(-11 + 4y - 2z)
36 + 3y + 12z = -22 + 8y - 4z
3y + 12z - 8y + 4z = -22 - 36
-5y + 16z = -58 ---------------- Ecuación 7
Ecuación 4 = Ecuación 6:
12 + y + 4z 2 - 2y + z
------------- = ------------
2 -5
-5(12 + y + 4z) = 2(2 - 2y + z)
-60 - 5y - 20z = 4 - 4y + 2z
-5y - 20z + 4y - 2z = 4 + 60
-y - 22z = 64 ---------------- Ecuación 8
- Luego, vamos a resolver las dos ecuacioes que hallamos (7 y 8), ya que es un sistema de Ecuación Lineal 2x2 podemos utilizar cualquier método, en este caso lo resolveremos por igualación:
1) -5y + 16z = -58
2) -y - 22z = 64
-5y + 16z = -58 -y - 22z = 64
Y = -58 - 16z Y = 64 + 22z
----------- -----------
-5 -1
-58 - 16z 64 + 22z
---------- = ----------
-5 -1
-1(-58 - 16z) = -5(64 + 22z) -y -22z = 64
58 + 16z = -320 - 110z -y -22(-3) = 64
16z + 110z = -320 - 58 -y + 66 = 64
126z = -378 -y = 64 - 66
Z = -378 / 126 -y = -2
Z = -3 Y = -2 / -1
Y = 2
- Ahora, como ya encontramos a Y y a Z nos falta encontrar a X, para esto vamos a reemplazar las dos variables halladas en una de las ecuaciones iniciales para despejar y hallar X:
3x - 4y + 2z = -11
3x - 4(2) + 2(-3) = -11 Resultado:
3x - 8 - 6 = -11 X = 1
3x = -11 + 8 + 6 Y = 2
X = 3 / 3 Z = -3
X = 1
Por Sustitución:
Tenemos la siguiente Ecuación Lineal 3x3:
2x - y + z = -3 -------------- Ecuación 1
3x + 2y - z = 1 -------------- Ecuación 2
x - 3y + 2z = -6 ------------- Ecuación 3
- Lo primero que debemos hacer es despejar una de las tres variables en cualquiera de las tres ecuaciones, en este caso despejaremos la variable Z:
2x - y + z = -3
Z = -3 -2x + y ----------- Ecuación 4
- En seguida, reemplazaremos la Z en las dos ecuaciones restantes, de esta manera:
3x + 2y - z = 1
3x + 2y -(-3 - 2x + y) = 1
3x + 2y + 3 + 2x - y = 1
5x + y = 1 - 3
5x + y = -2 ------------- Ecuación 5
x - 3y + 2z = -6
x - 3y + 2(-3 -2x +y) =- 6
x - 3y - 6 - 4x + 2y = -6
-3x - y = -6 +6
-3x - y = 0 ------------- Ecuación 6
- Ahora, como las dos ecuaciones resultantes (5 y 6) son ecuaciones lineales 2x2, podemos resolverlas utilizando el método de sustitución de las ecuaciones lineales 2x2:
5x + y = -2
Y = -2 - 5x
-3x - y = 0 5x + y = -2
-3x -(-2 - 5x) = 0 5(-1) + y = -2
-3x + 2 + 5x = 0 -5 + y = -2
2x = 0 - 2 Y = -2 + 5
2x = -2 Y = 3
X = -2 / 2
X = -1
- Por último, como ya hallamos a X y Y, entonces vamos a reemplazar las dos variables halladas es cualquiera de las tres ecuaciones iniciales para hallar a Z:
2x - y + z = -3
2(-1) -(3) + z = -3 Resultado:
-2 - 3 + z = -3 X = -1
Z = -3 + 2 + 3 Y = 3
Z = 2 Z = 2
Por Reducción:
Tenemos la siguiente Ecuación Lineal 3x3:
2x - 2y + z = 6 ----------- Ecuación 1
x + y - 2z = -4 ------------ Ecuación 2
3z - y + z = 6 ------------ Ecuación 3
- Lo primero que debemos hacer es seleccionar dos ecuaciones las multiplicamos por los coeficientes de las X para reducir una de las tres incógnitas, de esta manera:
Ecuación 1 y Ecuación 2:
1(2x - 2y + z = 6) = 2x - 2y + z = 6
- 2(x + y - 2z = -4) = -2x - 2y + 4z = 8
2x - 2y + z = 6
-2x - 2y + 4z = 8
---------------------
/ - 4y + 5z = 14 ---------- Ecuación 4
Ecuación 1 y Ecuación 3:
3(2x - 2y + z = 6) = 6x - 6y + 3z = 18
-2( 3x - y + z = 6) = -6x + 2y - 2z = -12
6x - 6y + 3z = 18
-6x + 2y - 2z = -12
----------------------
/ -4y + z = 6 ----------- Ecuación 5
- Ahora, como las dos ecuaciones resultantes son dos ecuaciones lineales 2x2, podemos resolverlas aplicando cualquier método, en este caso, lo resolveremos por Reducción:
-1(-4y + 5z = 14) = 4y - 5z = -14
(-4y + z = 6) = -4y + z = 6
4y - 5z = -14 -4z = -8 -4y + 5z = 14
-4y + z = 6 Z = -8 / -4 -4y + 5(2) = 14
---------------- Z = 2 -4y + 10 = 14
/ -4z = -8 Y = 14 - 10 / -4
Y = 4 / -4
Y = -1
- Por último, como ya hallamos a Y y a Z, las vamos a reemplazar en cualquiera de las ecuaciones iniciales para hallar a X:
2x - 2y + z = 6 Resultado:
2x - 2(-1) + 2 = 6 X = 1
2x + 2 + 2 = 6 Y = -1
2x = 6 -2 -2 Z = 2
2x = 2
X = 2 / 2
X = 1
Sirve para resolver ecuaciones lineales. A continución se explicará como se resuelve una ecuación lineal 3x3 por el método de Gauss Jordan.
3x + 5y - z = -2
2x - 3y + 2z = 7
-x + 2y + z = 3
Método de Gauss Jordan:
X = 1/3
Y = 1/21
Z = 68/21
Verificación:
3x + 5y -z = -2
3(1/3) + 5(1/21) - 68/21 = -2
1 + 5/21 - 68/21 = -2
-2 = -2
2x - 3y + 2z = 7
2(1/3) - 3(1/21) + 2(68/21) = 7
2/3 - 1/7 + 136/21 = 7
7= 7
-x + 2y + z = 3
-1/3 + 2(1/21) + 68/21 = 3
-1/3 + 2/21 + 68/21 = 3
3 = 3
Regla de Cramer:
Utilizaremos la siguiente ecuación lineal 3x3 para explicar la regla de Cramer.
x - 3y + 2z = -3
5x + 6y- z = 13
4x - y + 3z = 8
- Debemos meter en una matriz los coeficientes de las variables X, Y y Z, y repetimos las dos primeras filas que quedan en la matriz; por último multiplicamos las diagonal hacia la derecha y le restamos la multiplicación de la diagonal hacia la izquierda, como se muestra a continuación:
= (18 - 10 + 12) - (48 + 1 - 45)
= 20 - 4
= 16
= (-54 - 26 + 24) - ( 96 - 3 - 117)
= -56 -(-24)
= -56 + 24
= -32
= ( 39 + 80 + 12) - (104 - 8 - 45)
= 131 - 51
= 80
= ( 48 + 15 - 156) - (-72 - 13 - 120)
= -93 -(-205
= -93 + 205
= 112
Finalmente para hallar las variables, dividimos el Determminante del Sistema (∆s) en el Determinante de X (∆x), y hacemos el mismo procedimiento con Y y con Z.
X = -32 / 16 Y = 80 / 16 Z = 112 / 16
X = -2 Y = 5 Z = 7
Verificación:
x - 3y + 2z = -3
-2 - 3(5) + 2(7) = -3
-2 - 15 + 14 = -3
-3 = -3
5x + 6y- z = 13
5(-2) + 6(5) - 7 = 13
-10 + 30 - 7 = 13
13 = 13
4x - y + 3z = 8
4(-2) - 5 + 3(7) = 8
-8 - 5 + 21 = 8
8 = 8
